微積分（經(jīng)管類）教程篇（下冊(cè)）

一、數(shù)學(xué)的發(fā)展

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是研究數(shù)和形的科學(xué)。

數(shù)學(xué)是一門古老而又年輕的科學(xué)。早在公元前兩千多年，人們由于貿(mào)易、測(cè)量和航海的需要，整理了更遠(yuǎn)古的計(jì)算和測(cè)量方法，從而形成了數(shù)學(xué)。這一時(shí)期，數(shù)學(xué)知識(shí)還是片面的、零碎的，沒有形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)捏w系，稱為數(shù)學(xué)的萌芽時(shí)期。

從公元前6世紀(jì)開始，古希臘的數(shù)學(xué)就已獲得獨(dú)立的地位，而數(shù)學(xué)作為一門完整的科學(xué)，是在公元前3世紀(jì)，由歐幾里得的不朽之作《幾何原本》確立的。公元前6世紀(jì)到17世紀(jì)中葉，稱為初等數(shù)學(xué)時(shí)期；17世紀(jì)，笛卡爾的解析幾何與微積分的誕生成為變量數(shù)學(xué)的標(biāo)志；18世紀(jì)，由于物理學(xué)、天文學(xué)和數(shù)學(xué)本身的發(fā)展，出現(xiàn)許多新的數(shù)學(xué)分支，如級(jí)數(shù)、微分方程、微分幾何、復(fù)變函數(shù)、實(shí)變函數(shù)和泛函分析等，因此18世紀(jì)是分析的世紀(jì)；19世紀(jì)至今，產(chǎn)生了非歐幾何，康托爾創(chuàng)立了集合論，由此產(chǎn)生了拓?fù)鋵W(xué)、概率統(tǒng)計(jì)、運(yùn)籌學(xué)、控制論、系統(tǒng)分析、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)和生物數(shù)學(xué)等。

二、微積分概述

在中學(xué)階段學(xué)習(xí)的主要是初等數(shù)學(xué)（包括初等代數(shù)和初等幾何），其研究對(duì)象基本是不變的量；微積分則是以函數(shù)（變量）、連續(xù)函數(shù)為研究對(duì)象，極限是其最基本的研究方法，微分與積分為其主要內(nèi)容。

微積分對(duì)于高等院校經(jīng)管類學(xué)生來(lái)說(shuō)是一門面廣、量大而影響深遠(yuǎn)的重要基礎(chǔ)課程，概念難度偏大、理論性強(qiáng)、抽象性強(qiáng)。通過(guò)對(duì)微積分的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)掌握微積分的基本概念、基本理論，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、抽象思維能力、邏輯思維能力、自學(xué)能力和創(chuàng)新能力，提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)和數(shù)學(xué)素質(zhì)，為以后學(xué)習(xí)專業(yè)技術(shù)知識(shí)和從事科學(xué)技術(shù)研究打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

微積分誕生于300多年以前，被科學(xué)家譽(yù)為人類思想的偉大成果之一。幾百年來(lái)，微積分一直被各個(gè)大學(xué)作為重要的基礎(chǔ)課來(lái)讓學(xué)生學(xué)習(xí)，原因就是它非常有用，而且對(duì)于培養(yǎng)思維能力來(lái)說(shuō)有積極作用。微積分來(lái)源于實(shí)踐，也可應(yīng)用于實(shí)踐，在工程技術(shù)乃至社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域都有非常重要的應(yīng)用。下面舉幾個(gè)典型的例子。比如，在火箭的發(fā)射、升空、飛行過(guò)程中，它做的是變速運(yùn)動(dòng)，那么怎樣定義火箭運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度？怎樣計(jì)算瞬時(shí)速度？比如，對(duì)一條任意形狀的光滑曲線，怎樣求曲線上某一點(diǎn)處的切線？比如，一門大炮，它的炮身和地面的夾角直接影響到炮彈的射程，則它和地面的夾角為多少時(shí)炮彈的射程最遠(yuǎn)？再比如，對(duì)一塊邊緣不規(guī)則的田地，怎樣求出這塊田地的面積？這些問(wèn)題都可以用微積分來(lái)解決。實(shí)際上，這四個(gè)例子對(duì)應(yīng)著歷史上著名的四大類問(wèn)題，即速度問(wèn)題、切線問(wèn)題、最大最小值問(wèn)題、求面積和體積問(wèn)題，它們是微積分產(chǎn)生的源泉。

微積分是微分學(xué)和積分學(xué)的統(tǒng)稱，它的萌芽、誕生與發(fā)展經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的時(shí)期。早在古希臘時(shí)期，歐多克斯提出了窮竭法，這是微積分的先驅(qū)。而我國(guó)莊子的《天下篇》中也有“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”的極限思想；公元263年，劉徽為《九章算術(shù)》作注時(shí)提出了“割圓術(shù)”，用正多邊形來(lái)逼近圓周，這是極限思想的成功運(yùn)用。

積分概念是從求某些面積、體積和弧長(zhǎng)的問(wèn)題中產(chǎn)生的。古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德在《拋物線求積法》中用窮竭法求出拋物線弓形的面積，他沒有用極限方法，而是用“有限”開工的窮竭法，這成為積分學(xué)的萌芽。

微分是從對(duì)曲線作切線的問(wèn)題和求函數(shù)的極大值、極小值問(wèn)題中產(chǎn)生的。微分方法的第一個(gè)真正值得注意的先驅(qū)工作起源于1629年費(fèi)馬陳述的概念。費(fèi)馬給出了如何確定極大值和極小值的方法。其后英國(guó)劍橋大學(xué)三一學(xué)院的巴羅教授又給出了求切線的方法，進(jìn)一步推動(dòng)了微分學(xué)概念的產(chǎn)生。在前人工作的基礎(chǔ)上，牛頓和萊布尼茨在17世紀(jì)下半葉各自獨(dú)立創(chuàng)立了微積分。

1665年5月20日，在牛頓手寫的一份文件中開始有“流數(shù)術(shù)”的記載，微積分的誕生不妨以這一天為標(biāo)志。牛頓關(guān)于微積分的著作很多寫于1665—1676年，但這些著作發(fā)表很遲。他完整地提出微分與積分是一對(duì)互逆運(yùn)算，并且給出換算的公式，就是后來(lái)著名的牛頓－萊布尼茨公式。

如果將整個(gè)數(shù)學(xué)比作一棵大樹，那么初等數(shù)學(xué)是樹的根，名目繁多的數(shù)學(xué)分支是樹枝，而樹干的主要部分就是微積分。從17世紀(jì)開始，隨著社會(huì)的進(jìn)步和生產(chǎn)力的發(fā)展，以及航海、天文、礦山建設(shè)等領(lǐng)域許多課題要解決，數(shù)學(xué)也開始研究變化著的量，由此數(shù)學(xué)進(jìn)入了“變量數(shù)學(xué)”時(shí)代，即微積分不斷完善成為一門學(xué)科。整個(gè)17世紀(jì)有數(shù)十位科學(xué)家為微積分的創(chuàng)立進(jìn)行了開創(chuàng)性的研究，但使微積分成為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支的還是牛頓和萊布尼茨。

微積分的誕生一般分為三個(gè)階段：極限概念階段、求積的無(wú)限小方法階段、積分與微分的互逆關(guān)系階段。最后一個(gè)階段是由牛頓和萊布尼茨完成的。前兩階段的工作，歐洲的大批數(shù)學(xué)家（可追溯到古希臘的阿基米德）都做出了各自的貢獻(xiàn)。追溯到公元前3世紀(jì)，在古希臘的數(shù)學(xué)家、力學(xué)家阿基米德（公元前287—公元前212年）的著作《圓的測(cè)量》和《論球與柱》中就已含有微積分的萌芽，他在拋物線下的弓形面積、球和球冠面積、螺線下的面積和旋轉(zhuǎn)雙曲線的體積問(wèn)題的研究中就隱含著近代積分的思想。開普勒在1615年《測(cè)量酒桶體積的新科學(xué)》一書中，就把曲線看成邊數(shù)無(wú)限增大的直線形，并提出圓的面積就是無(wú)窮多的三角形面積之和，這些都可視為極限思想的佳作。意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利在1635年出版的《連續(xù)不可分幾何》一書中把曲線看成是無(wú)限多條線段（不可分量）拼成的。對(duì)于這方面的工作，古代中國(guó)毫不遜色于西方，微積分思想在中國(guó)早有萌芽，甚至是古希臘數(shù)學(xué)不能比擬的。公元前7世紀(jì)老莊哲學(xué)中就有無(wú)限可分性和極限思想；公元前4世紀(jì)《墨經(jīng)》中有了有窮、無(wú)窮、無(wú)限小（最小無(wú)內(nèi)）、無(wú)窮大（最大無(wú)外）的定義和極限、瞬時(shí)等概念。劉徽在公元263年首創(chuàng)了割圓術(shù)求圓面積和方錐體積，求得圓周率約等于3.1416，他的極限思想和無(wú)窮小方法是世界古代極限思想的深刻體現(xiàn)。

微積分思想雖然可追溯至古希臘，但它的概念和法則卻是16世紀(jì)下半葉，在開普勒、卡瓦列利等求積的不可分量思想和方法基礎(chǔ)上產(chǎn)生和發(fā)展起來(lái)的。而這些思想和方法從劉徽對(duì)圓錐、圓臺(tái)、圓柱的體積公式的證明到公元5世紀(jì)祖暅求球體積的方法中都可找到。北宋大科學(xué)家沈括在《夢(mèng)溪筆談》中獨(dú)創(chuàng)了“隙積術(shù)”“會(huì)圓術(shù)”和“棋局都數(shù)術(shù)”，開始了對(duì)高階等差級(jí)數(shù)求和的研究。

上述科學(xué)家都為17世紀(jì)微積分成為一門科學(xué)奠定了基礎(chǔ)，解析幾何也為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ)。16世紀(jì)以后歐洲封建社會(huì)日趨沒落，資本主義逐漸興起，為科學(xué)技術(shù)的發(fā)展開創(chuàng)了美好前景。到了17世紀(jì)，許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述四大類問(wèn)題做了大量的研究工作。笛卡爾1637年發(fā)表了《科學(xué)中的正確運(yùn)用理性和追求真理的方法論》（簡(jiǎn)稱《方法論》），創(chuàng)立了解析幾何，表明了幾何問(wèn)題不僅可以歸結(jié)成代數(shù)形式，而且可以通過(guò)代數(shù)變換來(lái)發(fā)現(xiàn)、證明幾何性質(zhì)。他不僅用坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置，而且把點(diǎn)的坐標(biāo)運(yùn)用到曲線上。他認(rèn)為點(diǎn)移動(dòng)成線，所以方程不僅可表示已知數(shù)與未知數(shù)之間的關(guān)系、變量與變量之間的關(guān)系，還可以表示曲線。此外，笛卡爾還打破了表示體積、面積及長(zhǎng)度的量之間不可進(jìn)行加減的束縛。至此幾何圖形的各種量可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)量來(lái)進(jìn)行表示，使得幾何與代數(shù)在數(shù)量上統(tǒng)一了起來(lái)。就這樣笛卡爾把相互對(duì)立的“數(shù)”與“形”統(tǒng)一起來(lái)，從而實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)史上的一次飛躍，為微積分的成熟提供了必要條件，開拓了變量數(shù)學(xué)的廣闊空間。

三、關(guān)于本教材

本教材充分考慮高等教育大眾化階段的現(xiàn)實(shí)狀況，以教育部非數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課教學(xué)指導(dǎo)分委員會(huì)制定的新的“經(jīng)濟(jì)管理類本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)基本要求”為依據(jù)，結(jié)合經(jīng)管類研究生入學(xué)考試的數(shù)學(xué)大綱進(jìn)行編寫。參加本教材編寫的人員都是多年擔(dān)任經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)實(shí)際教學(xué)的教師，他們都有較高的理論造詣和較豐富的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)。本教材以培養(yǎng)應(yīng)用型人才為目標(biāo)，將數(shù)學(xué)基本知識(shí)與經(jīng)濟(jì)、管理學(xué)科中的實(shí)際應(yīng)用有機(jī)結(jié)合起來(lái)，主要有以下幾個(gè)特點(diǎn)：

（1）注重體現(xiàn)應(yīng)用型本科院校特色。根據(jù)經(jīng)濟(jì)類和管理類各專業(yè)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的需求，本著“輕理論、重應(yīng)用”的原則制定內(nèi)容體系。

（2）注重理論聯(lián)系實(shí)際。在內(nèi)容安排上由淺入深，與中學(xué)數(shù)學(xué)進(jìn)行了合理的銜接。在引入概念時(shí)，介紹了概念產(chǎn)生的實(shí)際背景，采用提出問(wèn)題—討論問(wèn)題—解決問(wèn)題的思路，逐步展開知識(shí)點(diǎn)，使學(xué)生能夠從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣；另外在微分學(xué)與積分學(xué)章節(jié)中，引入了經(jīng)濟(jì)、管理類的實(shí)際應(yīng)用例題和課后練習(xí)題，以培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)和能力。

（3）本教材結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯嚴(yán)密、語(yǔ)言準(zhǔn)確、解析詳細(xì)，易于學(xué)生閱讀。由于弱化了抽象理論，突出了理論應(yīng)用和方法介紹，內(nèi)容深度廣度適當(dāng)，貼近教學(xué)實(shí)際，便于教師教與學(xué)生學(xué)。本教材內(nèi)容分為教程篇（上、下冊(cè)）和導(dǎo)學(xué)篇（上、下冊(cè)），包括函數(shù)的極限、一元函數(shù)微積分學(xué)、微分方程、多元函數(shù)微積分學(xué)、無(wú)窮級(jí)數(shù)、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、微積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用等內(nèi)容。

（4）在教程篇每一章的結(jié)束部分，都增加了數(shù)學(xué)拓展，其中包含數(shù)學(xué)建模和有杰出貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家的生平簡(jiǎn)介。通過(guò)數(shù)學(xué)建模，可以使學(xué)生認(rèn)識(shí)到所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)在經(jīng)濟(jì)、管理學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，同時(shí)能夠利用所學(xué)知識(shí)對(duì)相應(yīng)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)單求解。通過(guò)介紹數(shù)學(xué)家的生平和事跡，可以使學(xué)生真正了解數(shù)學(xué)發(fā)展的基本過(guò)程，而且能讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家追求真理、維護(hù)真理的堅(jiān)韌不拔的科學(xué)精神。在導(dǎo)學(xué)篇每章的后面都配有單元練習(xí)，供學(xué)生學(xué)完一章后復(fù)習(xí)、總結(jié)、提高之用。其中的題目主要考查本章必須掌握的知識(shí)點(diǎn)，并強(qiáng)調(diào)知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，注重培養(yǎng)學(xué)生的解題思路和解題方法，便于學(xué)生自測(cè)。

（5）與中學(xué)數(shù)學(xué)銜接緊密。附錄Ⅰ中對(duì)常用基本初等函數(shù)的定義域和圖像進(jìn)行全面總結(jié)，附錄Ⅱ?qū)ΤＲ姷娜�角函�?shù)公式進(jìn)行了全面總結(jié)，并在附錄Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ中分別介紹了二階行列式、三階行列式、一些常用的平面曲線及其圖形、各種類型的不定積分公式，供學(xué)生查閱參考。

在編寫過(guò)程中，我們借鑒同類院校經(jīng)典教材的優(yōu)點(diǎn)，注重教材改革中的一些成功案例，使得本教材更適合當(dāng)代大學(xué)生人才培養(yǎng)和教學(xué)實(shí)踐的需要。

本教材為了更好地實(shí)現(xiàn)與中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的銜接，對(duì)反三角函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行了詳細(xì)描述；為保證教學(xué)內(nèi)容更加系統(tǒng)，將微分方程調(diào)整到定積分之后；根據(jù)現(xiàn)有微積分課程課時(shí)要求，對(duì)空間解析幾何的內(nèi)容進(jìn)行了適當(dāng)精簡(jiǎn)合并，將其添加到多元函數(shù)微分學(xué)的第一節(jié)，同時(shí)增加了大量經(jīng)濟(jì)、管理數(shù)學(xué)模型的例題和習(xí)題。

參加教程篇編寫的有曹海軍（第1—5章），周玲麗（第6、7、10章），張?chǎng)危ǖ?、9章）。教程篇由曹海軍、周玲麗統(tǒng)稿及定稿。參加導(dǎo)學(xué)篇編寫的有王海棠（第1、2、9、10章），馬彥君（第3、4章），李麗（第5、6章），于學(xué)光（第7、8章）。導(dǎo)學(xué)篇由王海棠統(tǒng)稿及定稿。在編寫過(guò)程中，我們參考和借鑒了許多國(guó)內(nèi)外有關(guān)文獻(xiàn)資料，并得到了很多同行的幫助和指導(dǎo)，在此對(duì)所有關(guān)心支持本教材編寫的教師表示衷心感謝。

限于編寫水平，書中難免有錯(cuò)誤和不足之處，敬請(qǐng)廣大讀者批評(píng)指正。

編 者

2022年3月

第6章 微分方程與差分方程 1
6.1 微分方程的基本概念 1
6.1.1 引例 1
6.1.2 微分方程的概念 2
6.2 一階微分方程 4
6.2.1 可分離變量的微分方程 4
6.2.2 齊次方程 6
6.2.3 一階線性微分方程 8
6.3 可降階的二階微分方程 11
6.3.1 型微分方程 11
6.3.2 型微分方程 12
*6.3.3 型的微分方程 14
6.4 二階常系數(shù)線性微分方程 15
6.4.1 二階常系數(shù)齊次線性微分方程 15
6.4.2 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 19
6.5 差分方程 22
6.5.1 差分的概念 23
6.5.2 差分方程的概念 24
6.5.3 一階常系數(shù)線性差分方程 25
6.6 微分方程和差分方程的簡(jiǎn)單經(jīng)濟(jì)應(yīng)用 28
6.7 數(shù)學(xué)拓展 31
6.7.1 數(shù)學(xué)建模 31
6.7.2 數(shù)學(xué)家簡(jiǎn)介—喬治•格林 33
第7章 多元函數(shù)微分學(xué) 35
7.1 空間解析幾何簡(jiǎn)介 35
7.1.1 空間直角坐標(biāo)系 35
7.1.2 空間兩點(diǎn)之間的距離 37
7.1.3 曲面方程的概念 38
7.1.4 常見的曲面及其方程 39
7.2 多元函數(shù)的基本概念 41
7.2.1 平面點(diǎn)集 41
7.2.2 二元函數(shù)的概念 43
7.2.3 二元函數(shù)的極限 44
7.2.4 二元函數(shù)的連續(xù)性 45
7.3 偏導(dǎo)數(shù) 46
7.3.1 偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算方法 46
7.3.2 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 48
7.3.3 高階偏導(dǎo)數(shù) 48
7.4 全微分 49
7.4.1 全微分的概念 49
*7.4.2 全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 51
7.5 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 52
7.5.1 中間變量均為一元函數(shù) 52
7.5.2 中間變量均為多元函數(shù) 53
7.5.3 中間變量既有一元函數(shù)也有多元函數(shù) 54
7.5.4 全微分形式不變性 56
7.6 隱函數(shù)求導(dǎo)法 56
7.7 多元函數(shù)的極值及其應(yīng)用 58
7.7.1 二元函數(shù)的極值 58
7.7.2 條件極值 拉格朗日乘數(shù)法 62
7.8 數(shù)學(xué)拓展 64
7.8.1 數(shù)學(xué)建模—最優(yōu)廣告策略 64
7.8.2 數(shù)學(xué)家簡(jiǎn)介—笛卡爾 65
第8章 二重積分 68
8.1 二重積分的概念與性質(zhì) 68
8.1.1 二重積分的概念 68
8.1.2 二重積分的性質(zhì) 71
8.2 二重積分的計(jì)算 73
8.2.1 利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分 73
8.2.2 利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分 82
8.3 數(shù)學(xué)拓展 89
8.3.1 數(shù)學(xué)建模—湖泊體積及平均水深的估算 89
8.3.2 數(shù)學(xué)家簡(jiǎn)介—羅爾 90
第9章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 92
9.1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì) 92
9.1.1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 92
9.1.2 無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 97
9.2 正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法 100
9.3 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂 107
9.3.1 交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 107
9.3.2 絕對(duì)收斂與條件收斂 109
9.4 冪級(jí)數(shù) 112
9.4.1 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 112
9.4.2 冪級(jí)數(shù)及其收斂域 113
9.4.3 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算及其性質(zhì) 118
9.5 函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù) 120
9.5.1 泰勒級(jí)數(shù)與麥克勞林級(jí)數(shù) 121
9.5.2 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的方法 123
9.6 數(shù)學(xué)拓展 127
9.6.1 數(shù)學(xué)建模—銀行存款問(wèn)題 127
9.6.2 數(shù)學(xué)家簡(jiǎn)介—阿貝爾 128
第10章 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 131
10.1 函數(shù)的極限 131
10.2 微分及其應(yīng)用 135
10.3 積分及其應(yīng)用 140
10.4 微分方程 142
10.5 多元函數(shù)微分 143
10.6 二重積分 146
10.7 無(wú)窮級(jí)數(shù) 146
10.8 數(shù)學(xué)拓展—數(shù)學(xué)家高斯 151
附錄I 基本初等函數(shù)圖像及性質(zhì) 154
附錄II 常見三角函數(shù)公式 158
附錄III 二階和三階行列式簡(jiǎn)介 160
附錄IV 幾種常見的曲線 163
附錄V 積分表 167

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